Kaçış, henüz çocukken Afganistan'dan kaçıp mülteci olarak Danimarka'ya giden Amin'in hayatına odaklanıyor. Amin, evlenmek üzere olduğu sırada, yirmi yıl boyunca kaçmaya çalıştığı, hayatının alt üst olmasına neden olacak korkunç sırlarla yüzleşmek zorunda kalır.